Calculadora de sucesión geométrica — término n-ésimo y suma

Cómo funciona

Una sucesión geométrica crece por multiplicación repetida: cada término es el anterior por una razón común constante r. A partir del primer término a₁, los términos son a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, …, de modo que el exponente de r siempre es uno menos que la posición del término:

aₙ = a₁ · r^(n − 1)

Para sumar los primeros n términos no hace falta calcularlos uno a uno. La serie geométrica tiene una forma cerrada:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (para r ≠ 1)

Cuando r = 1 todos los términos valen a₁, así que la suma es simplemente a₁ · n. Una razón entre −1 y 1 encoge los términos hacia cero; una razón de magnitud mayor que 1 los hace crecer sin límite; y una razón negativa hace que los signos se alternen.

Esto se diferencia de una sucesión aritmética, que suma una diferencia constante en lugar de multiplicar por una razón constante.

Ejemplo resuelto

Toma a₁ = 2 y r = 3, lo que da la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, … El término 5 es 2 · 3^(5−1) = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. La suma de los primeros cinco términos es 2 · (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) = 2 · (1 − 243) ÷ (−2) = 2 · (−242) ÷ (−2) = 242, que puedes comprobar sumando 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una sucesión geométrica?

El término n-ésimo es aₙ = a₁ · r^(n − 1), donde a₁ es el primer término y r es la razón común. El exponente es n − 1 porque el primer término (n = 1) se multiplica por r cero veces. Con a₁ = 2 y r = 3, el término 4 es 2 · 3³ = 54.

¿Cómo se halla la suma de una sucesión geométrica?

Usa Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) para los primeros n términos, siempre que r ≠ 1. Si r = 1, todos los términos son iguales, así que la suma es a₁ · n. La fórmula evita sumar los términos uno a uno, lo que importa cuando n es grande.

¿Qué es la razón común?

La razón común r es el número por el que multiplicas para pasar de un término al siguiente, así que la hallas dividiendo cualquier término entre el anterior: r = aₙ ÷ aₙ₋₁. En 3, 6, 12, 24 la razón es 6 ÷ 3 = 2.

¿En qué se diferencia una sucesión geométrica de una aritmética?

Una sucesión geométrica **multiplica** por una razón constante, así que crece o decrece de forma exponencial; una sucesión aritmética **suma** una diferencia constante, así que cambia la misma cantidad en cada paso. 2, 6, 18, 54 es geométrica (multiplica por 3); 2, 5, 8, 11 es aritmética (suma 3).

¿La suma converge si la razón es una fracción?

Para un número **finito** de términos, la suma siempre es a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r). Si |r| < 1 y continúas de forma indefinida, rⁿ se acerca a 0 y la suma infinita se acerca a a₁ ÷ (1 − r), un límite finito. Esta calculadora reporta la suma finita de los primeros n términos.

¿La razón o el primer término pueden ser negativos?

Sí. Una razón negativa hace que los signos se alternen —con a₁ = 3 y r = −2 se obtiene 3, −6, 12, −24— y un primer término negativo invierte toda la sucesión. Las mismas fórmulas se aplican en todos los casos.