Calculadora de progressão geométrica — termo e soma

Como funciona

Uma progressão geométrica cresce por multiplicação repetida: cada termo é o anterior vezes uma razão constante r. A partir do primeiro termo a₁, os termos são a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, … — então o expoente de r é sempre um a menos que a posição do termo:

aₙ = a₁ · r^(n − 1)

Para somar os n primeiros termos, você não precisa calculá-los um a um. A série geométrica tem uma forma fechada:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (para r ≠ 1)

Quando r = 1, todos os termos são iguais a a₁, então a soma é simplesmente a₁ · n. Uma razão entre −1 e 1 encolhe os termos em direção a zero; uma razão com módulo maior que 1 faz com que cresçam sem limite; e uma razão negativa faz os sinais se alternarem.

Isso difere de uma progressão aritmética, que soma uma constante em vez de multiplicar por uma razão constante.

Exemplo resolvido

Tome a₁ = 2 e r = 3, gerando a progressão 2, 6, 18, 54, 162, … O 5º termo é 2 · 3^(5−1) = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. A soma dos cinco primeiros termos é 2 · (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) = 2 · (1 − 243) ÷ (−2) = 2 · (−242) ÷ (−2) = 242, o que você pode conferir somando 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do n-ésimo termo de uma progressão geométrica?

O n-ésimo termo é aₙ = a₁ · r^(n − 1), em que a₁ é o primeiro termo e r é a razão. O expoente é n − 1 porque o primeiro termo (n = 1) não é multiplicado por r nenhuma vez. Com a₁ = 2 e r = 3, o 4º termo é 2 · 3³ = 54.

Como encontro a soma de uma progressão geométrica?

Use Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) para os n primeiros termos, desde que r ≠ 1. Se r = 1, todos os termos são iguais, então a soma é a₁ · n. A fórmula evita somar os termos um a um, o que importa quando n é grande.

O que é a razão?

A razão r é o número pelo qual você multiplica para passar de um termo ao seguinte, então você pode encontrá-la dividindo qualquer termo pelo termo anterior: r = aₙ ÷ aₙ₋₁. Em 3, 6, 12, 24 a razão é 6 ÷ 3 = 2.

Qual é a diferença entre uma progressão geométrica e uma aritmética?

Uma progressão geométrica **multiplica** por uma razão constante, então cresce ou encolhe exponencialmente; uma progressão aritmética **soma** uma constante, então muda pela mesma quantidade a cada passo. 2, 6, 18, 54 é geométrica (× 3); 2, 5, 8, 11 é aritmética (+ 3).

A soma converge se a razão for uma fração?

Para um número **finito** de termos, a soma é sempre a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r). Se |r| < 1 e você continuar para sempre, rⁿ se aproxima de 0 e a soma infinita se aproxima de a₁ ÷ (1 − r) — um limite finito. Esta calculadora informa a soma finita dos n primeiros termos.

A razão ou o primeiro termo podem ser negativos?

Sim. Uma razão negativa faz os sinais se alternarem — a₁ = 3, r = −2 dá 3, −6, 12, −24 — e um primeiro termo negativo inverte toda a progressão. As mesmas fórmulas valem em todos os casos.