Calculadora de Fibonacci — término n-ésimo y suma

Cómo funciona

La sucesión de Fibonacci se construye con una sola regla simple: empieza con dos números 1, y cada término posterior es la suma de los dos anteriores:

Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, con F₁ = F₂ = 1

Eso da 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …: cada paso solo suma los dos anteriores. Para obtener el n-ésimo número no necesitas una fórmula especial; puedes llegar a él sumando repetidamente, que es justo lo que hace esta calculadora.

La suma de los primeros n números de Fibonacci tiene un atajo elegante. Sumarlos uno a uno siempre cae en el término dos posiciones más adelante, menos uno:

F₁ + F₂ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1

La sucesión también esconde la razón áurea: divide cualquier término entre el anterior y el resultado se acerca a φ ≈ 1,618 a medida que crecen los números —55 ÷ 34 ≈ 1,618—. (Esta herramienta limita n a 78, el mayor número de Fibonacci que se mantiene exacto en la aritmética computacional estándar.)

Ejemplo resuelto

Para n = 10, recorre la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55: el décimo término es 55. Su suma es 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, que el atajo da al instante como F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?

Es la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Debe su nombre a Leonardo de Pisa ("Fibonacci") y aparece por todas las matemáticas y la naturaleza, desde los pétalos de las flores hasta las conchas en espiral.

¿Cuál es el n-ésimo número de Fibonacci?

Es el número en la posición n. Como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, lo encuentras sumando a lo largo de la sucesión: F₇ = 13, F₁₀ = 55, F₂₀ = 6765. Ingresa n arriba y la calculadora hace las sumas por ti.

¿Cómo se halla la suma de los números de Fibonacci?

Usa el atajo: la suma de los primeros n términos es igual a Fₙ₊₂ − 1. Para los primeros diez términos, eso es F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143, lo mismo que sumarlos uno a uno.

¿Cómo se relaciona Fibonacci con la razón áurea?

La razón entre cada término y el anterior se acerca a la razón áurea φ ≈ 1,618 a medida que crecen los términos: 8 ÷ 5 = 1,6; 55 ÷ 34 ≈ 1,618; 6765 ÷ 4181 ≈ 1,61803. Cuanto mayores son los números, más cercana es la razón.

¿La sucesión empieza en 0 o en 1?

Existen ambas convenciones. Esta calculadora usa F₁ = F₂ = 1, así que la sucesión empieza 1, 1, 2, 3, … Algunos textos empiezan en F₀ = 0, lo que da 0, 1, 1, 2, 3, …: los números son los mismos, solo desplazados un índice.

¿Cuán grande puede ser un número de Fibonacci?

Crecen exponencialmente, más o menos por un factor igual a la razón áurea en cada paso. Esta calculadora se detiene en el término 78.º (unos 8,9 × 10¹⁵), el mayor que se mantiene como número entero exacto en la aritmética estándar de las computadoras.