Calculadora de Fibonacci — n-ésimo número e soma

Como funciona

A sequência de Fibonacci é construída por uma regra simples: comece com dois termos iguais a 1, e cada termo depois disso é a soma dos dois anteriores:

Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, com F₁ = F₂ = 1

Isso dá 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … — cada passo apenas soma os dois anteriores. Para obter o n-ésimo número, você não precisa de uma fórmula especial; dá para chegar até ele por adições sucessivas, que é exatamente o que esta calculadora faz.

A soma dos n primeiros números de Fibonacci tem um atalho elegante. Somá-los um a um sempre chega ao termo duas posições adiante, menos um:

F₁ + F₂ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1

A sequência também esconde a razão áurea: divida qualquer termo pelo anterior e o resultado se aproxima de φ ≈ 1,618 conforme os números crescem — 55 ÷ 34 ≈ 1,618. (Esta ferramenta limita n a 78, o maior número de Fibonacci que permanece exato na aritmética computacional padrão.)

Exemplo resolvido

Para n = 10, percorra a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 — o 10º termo é 55. A soma deles é 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, que o atalho dá na hora como F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143.

Perguntas frequentes

O que é a sequência de Fibonacci?

É a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … em que cada número é a soma dos dois anteriores. Recebe o nome de Leonardo de Pisa ("Fibonacci") e aparece por toda a matemática e a natureza, das pétalas de flores às conchas em espiral.

O que é o n-ésimo número de Fibonacci?

É o número na posição n. Como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, você o encontra somando ao longo da sequência: F₇ = 13, F₁₀ = 55, F₂₀ = 6 765. Digite n acima que a calculadora faz as somas para você.

Como encontro a soma dos números de Fibonacci?

Use o atalho: a soma dos n primeiros termos é igual a Fₙ₊₂ − 1. Para os dez primeiros termos, isso é F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143, o mesmo que somá-los um a um.

Como Fibonacci se relaciona com a razão áurea?

A razão entre cada termo e o anterior se aproxima da razão áurea φ ≈ 1,618 conforme os termos crescem: 8 ÷ 5 = 1,6; 55 ÷ 34 ≈ 1,618; 6 765 ÷ 4 181 ≈ 1,61803. Quanto maiores os números, mais próxima a razão.

A sequência começa com 0 ou 1?

As duas convenções existem. Esta calculadora usa F₁ = F₂ = 1, então a sequência começa em 1, 1, 2, 3, … Alguns textos começam em F₀ = 0, gerando 0, 1, 1, 2, 3, … — os números são os mesmos, apenas deslocados por um índice.

Quão grande pode ser um número de Fibonacci?

Eles crescem exponencialmente — aproximadamente por um fator da razão áurea a cada passo. Esta calculadora para no 78º termo (cerca de 8,9 quatrilhões), o maior que permanece um número inteiro exato na aritmética computacional padrão.